2004年高考第一轮仿真测试数学(理)试卷及答案

参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A B)=P(A) P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=C pk(1－p)n－k
球的表面积公式S=4 R2，其中R表示球的半径
球的体积公式V= R3，其中R表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k 1,k∈Z},C={x|x=4k 1,k∈Z},又a∈A,b∈B,则有
A.a b∈A
B.a b∈B
C.a b∈C
D.a b不属于A，B，C中的任意一个
2.已知f(x)=sin(x ,g(x)=cos(x－ ),则f(x)的图象
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移 个单位，得到g(x)的图象
D.向右平移 个单位，得到g(x)的图象
3.过原点的直线与圆x2 y2 4x 3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
A.y= x B.y=－ x
C.y= x D.y=－ x
4.函数y=1－ , 则下列说法正确的是
A.y在(－1, ∞)内单调递增 B.y在(－1, ∞)内单调递减
C.y在(1, ∞)内单调递增 D.y在(1, ∞)内单调递减
5.已知直线m,n和平面 ，那么m∥n的一个必要但非充分条件是
A.m∥ ,n∥ B.m⊥ ,n⊥
C.m∥ 且n D.m,n与 成等角
6.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则
A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是
B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是 ，③并非如此
C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是 ，②并非如此
D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同
7.曲线y=x3在点P处的切线斜率为k，当k=3时的P点坐标为
A.(－2,－8) B.(－1,－1),(1,1)
C.(2,8) D.(－ ,－ )
8.已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是
A.(0，1) B.(1，2)
C.(0，2) D.［2， ∞
9.已知lg3,lg(sinx－ ),lg(1－y)顺次成等差数列，则
A.y有最小值 ，无最大值 B.y有最大值1，无最小值
C.y有最小值 ，最大值1 D.y有最小值－1，最大值1
10.若 =a， =b，则∠AOB平分线上的向量 为
A. B. ( )， 由 决定
C. D.
11.一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2,则e1 e2的最小值为
A. B.2
C.2 D.4
12.式子 的值为
A.0 B.1
C.2 D.3
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.从A={a1,a2,a3,a4}到B={b1,b2,b3,b4}的一一映射中，限定a1的象不能是b1，且b4的原象不能是a4的映射有___________个.
14.椭圆5x2－ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k=___________.
15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为___________.
16.已知an是(1 x)n的展开式中x2的系数，则 =___________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)= ，记数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=f(1),当n≥2时，Sn－ (n2 5n－2).
(1)计算a1，a2，a3，a4;
(2)求出数列{an}的通项公式，并给予证明.
18.(本小题满分12分)
已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC= .
(1)判断△ABC的形状；

(2)设三边a,b,c成等差数列且S△ABC=6 cm2，求△ABC三边的长.
19.(本小题满分12分)
如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=h，AD=y.

(1)试求y关于h的函数解析式；
(2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角；
(3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径.
20.(本小题满分12分)
某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时 间分别是x、y小时.
(1)作图表示满足上述条件x、y的范围；
(2)如果已知所需的经费p=100 3(5－x) 2(8－y)(元)，那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
21.(本小题满分12分)
已知f(x)=loga(x 1)，点P是函数y=f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象，当a＞1,x∈［0,1 时，总有2f(x) g(x)≥m恒成立.
(1)求出g(x)的表达式；
(2)求m的取值范围.
22.(本小题满分14分)
直线l:ax－y－1=0与曲线C：x2－2y2=1交于P、Q两点，
(1)当实数a为何值时，|PQ|=2 ?
(2)是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：由已知得a是偶数，b是奇数，则a b是奇数，又b∈B，B C，∴a b∈B,选B.
答案：B
2.解析：f(x)的图象向右平移 个单位，得sin［(x－ ) ］=sinx，又g(x)=cos(x－ =cos( －x)=sinx,故选D.
答案：D
3.解析：设直线为y=kx.
由 消去y，得
(1 k2)x2 4x 3=0,
由Δ=16－4×3(1 k2)=0,k=± .
又知切点在第三象限，∴k= ，选C.
答案：C

4.解析：令x－1=X,y－1=Y,则Y=－ .
X∈(0, ∞)是单调增函数，由X=x－1,得x∈(1, ∞)，y=1－ 为单调增函数,故选C.
答案：C
5.解析：若m∥n,则m,n与平面 成相等的角，反之 ，若m,n与平面 成等角，不一定有m∥n,故选D.
答案：D
6.解析：将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是 ，故选A.
答案：A
7.解析：由y=x3，得y′=3x2.由已知得3x2=3，x=±1.
当x=1时，y=1,当x=－1时，y=－1，
故P点的坐标为(1，1)或(－1，－1)，选B.
答案：B
8.解析：由已知loga(2－a·0)＞loga(2－a)，即loga2＞loga(2－a)，
当0＜a＜1时，有 无解，
当a＞1时，有 ，得1＜a＜2,选B.
答案：B
9.解析：由已知得2lg(sinx－ )=lg3 lg(1－y)，且 ,
得(sinx－ )2=3(1－y)
得y=1－ ,
当sinx=1时，ymin= ，无最大值，选A.
答案：A
10.答案：B
11.解析：设双曲线 =1的离心率e1= ，
则共轭双曲线 =1的离心率e2= .
e1 e2=
≥2· (a=b时取等号)
=2· ≥2· (a=b时取等号).
∴e1 e2的最小值为2 ，选C.
答案：C
12.解析：原式=
= =2,选C.
答案：C
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.解析：A －2A A =14.
答案：14
14.解析：由已知得x2 =1,k＜0,
由焦点坐标(0，2)知长轴在y轴上，
得(－ )－1=4,得k=－1.
答案：－1
15.解析：由题意得S= ,－1＜q＜0.
由q= 得－1＜ ＜0,解不等式得1＜S＜2.
答案：1＜S＜2
16.解析：由已知得x2的系数为C ，即an=C = ,
∴a2=1, =1= , ,…, ,
∴
= .
答案：2
三、解答题(17、18、19、20、21题，每题12分，22题14分，共74分)
17.解：(1)由已知，当n≥2时，f(an)= ,
∵Sn－ ，
∴Sn－ (n2 5n－2),
即Sn an= (n2 5n 2).
又a1=f(1)=2,
由S2 a2=a1 2a2= (22 5×2 2),
得a2=3;
由S3 a3=a1 a2 2a3= (32 5×3 2),
解得a3=4;
由S4 a4=a1 a2 a3 2a4= (42 5×4 2),解得a4=5. 6分
(2)则a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,于是猜想：an=n 1(n∈N). 8分
以下用数学归纳法证明：
(a)当n=1时命题成立.
(b)设n=k时，ak=k 1(k∈N).
由Sk 1 ak 1= ［(k 1)2 5(k 1) 2］,
a1 a2 … ak 2ak 1= (k2 7k 8),
2ak 1= (k2 7k 8)－(2 3 … k 1)
= (k2 7k 8)－
= (k2 7k 8－k2－3k)
=2k 4.
ak 1=(k 1) 1,
即当n=k 1时命题也成立.
故由(a)、(b)知对一切n∈N均有an=n 1. 12分
18.(1)解法一：sinC=
=tan = .
∵sinC≠0,∴cosC=0,0°＜C＜180°,
∴C=90°,∴△ABC为直角三角形. 6分
解法二：∵cosA cosB= ,
∴ .
化简整理得：(a b)(c2－a2－b2)=0,∴a2 b2=c2,

∴△ABC为直角三角形. 6分
(2)解：由已知得：a2 b2=c2,a c=2b, ab=6,
解得：a=3 cm,b=4 cm,c=5 cm. 12分
19.解：(1)显然h＞1，连接AQ，
∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,
∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h2.
∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ= ,
∴ ,即 .
∴y= (h＞1). 4分
(2)y= =
= ≥2, 6分
当且仅当 ,即h= 时，等号成立.
此时CQ=1,即Q为BC的中点，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角，由已知得AQ= ,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE= ,∠ADE=30°. 8分
(3)设三棱锥P－ADQ的内切球半径为r,
则 (S△PAD S△PAQ S△PDQ S△ADQ)·r=VP－ADQ .
∵VP－ADQ= S△ADQ·PA= ,S△PAQ=1,
S△PAD= ,S△QAD=1,S△PDQ= ,
∴r= . 12分
20.解：(1)由题意得：v= ,w= ,4≤v≤20,30≤w≤100, 3分

∴3≤x≤10, ≤y≤ .①
由于汽车、摩托艇所要的时 间和x y应在9至14小时之间，即9≤x y≤14,②
因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界). 6分
(2)因为p=100 3(5－x) 2(8－y),所以3x 2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－ 的直线3x 2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元. 12分
21.解：(1)设Q(x,y) P(－x,－y),代入f(x)方程得，g(x)=－loga(－x 1). 4分
(2)2f(x) g(x)≥m恒成立
2loga(x 1)－loga(1－x)≥m恒成立
loga ≥m恒成立,即m小于等于loga 的最小值.
令h(x)=
= . 8分
易证h(x)在x∈［0,1)上单调递增，
∴h(x)min=h(0)=1,
又∵a＞1,∴loga ≥loga1=0,
即loga 的最小值为0，
∴m的取值范围是m≤0. 12分
22.解：(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2), ,
∴(1－2a2)x2 4ax－3=0.
若1－2a2=0,即a=± 时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点，与题意不合，
∴1－2a2≠0,Δ=(4a)2－4(1－2a2)(－3)＞0,
∴－ ＜a＜ .
(*)
∴｜PQ｜= ｜x1－x2｜=2 .
∴(x1－x2)2=4,∴(x1 x2)2－4x1x2=4.
∴(－ )2－4 =4.
∴a=±1∈(－ , ).
∴所求的实数a的值为a=±1. 5分
(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O，则由OP⊥OQ，得y1·y2=－x1·x2.
∴(ax1－1)·(ax2－1)=－x1·x2,
∴(1 a2)x1·x2－a(x1 x2) 1=0. 9分
把(*)式代入得：a2=－2与a为实数矛盾，
∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点. 14分

参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A B)=P(A) P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=C pk(1－p)n－k
球的表面积公式S=4 R2，其中R表示球的半径
球的体积公式V= R3，其中R表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k 1,k∈Z},C={x|x=4k 1,k∈Z},又a∈A,b∈B,则有
A.a b∈A
B.a b∈B
C.a b∈C
D.a b不属于A，B，C中的任意一个
2.已知f(x)=sin(x ,g(x)=cos(x－ ),则f(x)的图象
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移 个单位，得到g(x)的图象
D.向右平移 个单位，得到g(x)的图象
3.过原点的直线与圆x2 y2 4x 3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
A.y= x B.y=－ x
C.y= x D.y=－ x
4.函数y=1－ , 则下列说法正确的是
A.y在(－1, ∞)内单调递增 B.y在(－1, ∞)内单调递减
C.y在(1, ∞)内单调递增 D.y在(1, ∞)内单调递减
5.已知直线m,n和平面 ，那么m∥n的一个必要但非充分条件是
A.m∥ ,n∥ B.m⊥ ,n⊥
C.m∥ 且n D.m,n与 成等角
6.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则
A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是
B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是 ，③并非如此
C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是 ，②并非如此
D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同
7.曲线y=x3在点P处的切线斜率为k，当k=3时的P点坐标为
A.(－2,－8) B.(－1,－1),(1,1)
C.(2,8) D.(－ ,－ )
8.已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是
A.(0，1) B.(1，2)
C.(0，2) D.［2， ∞
9.已知lg3,lg(sinx－ ),lg(1－y)顺次成等差数列，则
A.y有最小值 ，无最大值 B.y有最大值1，无最小值
C.y有最小值 ，最大值1 D.y有最小值－1，最大值1
10.若 =a， =b，则∠AOB平分线上的向量 为
A. B. ( )， 由 决定
C. D.
11.一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2,则e1 e2的最小值为
A. B.2
C.2 D.4
12.式子 的值为
A.0 B.1
C.2 D.3
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.从A={a1,a2,a3,a4}到B={b1,b2,b3,b4}的一一映射中，限定a1的象不能是b1，且b4的原象不能是a4的映射有___________个.
14.椭圆5x2－ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k=___________.
15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为___________.
16.已知an是(1 x)n的展开式中x2的系数，则 =___________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)= ，记数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=f(1),当n≥2时，Sn－ (n2 5n－2).
(1)计算a1，a2，a3，a4;
(2)求出数列{an}的通项公式，并给予证明.
18.(本小题满分12分)
已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC= .
(1)判断△ABC的形状；